Les nombres selon Penrose

Explications

Ci-dessous, vous trouverez la liste de tous les nombres de 1 à 100, avec quelques-unes de leurs propriétés mathématiques qui font que Penrose les apprécie ou non. Si vous n’êtes pas des nerds sans espoir de réhabilitation sociale, vous trouverez également un lexique au-dessous pour vous aider à comprendre tout ce micmac, qui contient non seulement les définitions des termes mathématiques utilisés dans cette liste, mais aussi l’opinion de Penrose sur certaines d’entre elles.

Avant de plonger dans la liste, il convient de noter que Penrose aime le nombre 5 de tout son cœur (pour des raisons évoquées ci-dessous), et qu’elle a tendance à compter en base 5 (voir Base numérale dans le lexique si vous ne savez pas ce que ça veut dire). Derrière chaque nombre de la liste, vous trouverez donc entre parenthèses son écriture en base 5 pour que vous puissiez mieux saisir comment elle voit ceux-ci la plupart du temps (même s’il lui arrive d’utiliser la base 10 sous la torture).

Enfin, n’oubliez pas que cette liste n’est pas exhaustive et que les avis de Penrose sont également empreints d’une certaine subjectivité. D’ailleurs, il n’est pas impossible que la liste change au fur et à mesure que je découvre… je veux dire, qu’elle découvre de nouvelles propriétés à certains nombres.

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Liste des nombres

1 (1) : Unitaire ; Nombre de Fibonacci ; Puissance de tout ordre ; Factorielle ; Polygonal et Polygonal centré de toutes formes ; Automorphe en base 10 ; Candide ; Techniquement plein d’autres propriétés, mais un peu chiant quand même, il faut l’admettre
2 (2) : Premier ; Nombre de Fibonacci ; Factorielle ; Primorielle ; Intouchable ; À la base de tous les nombres pairs, que Penrose n’aime pas beaucoup
3 (3) : Premier ; Jumeau de 5 ; Nombre de Fibonacci ; Triangulaire ; Base moins 2
4 (4) : Hautement composé ; Carré
5 (10) : Premier ; Seul premier possédant deux jumeaux ; Multiple de 5 ; Nombre de Fibonacci ; Pentagonal ; Carré centré ; Intouchable ; Automorphe en base 10 ; Délivré ; Le pentagone est le seul polygone à posséder autant de côtés que de diagonales, et quand on trace toutes les diagonales d’un pentagone régulier, l’ensemble donne une figure composée de cinq triangles d’or et cinq triangles d’argent (variante du triangle d’or) entourant un autre pentagone régulier, et même trente-cinq triangles d’or ou d’argent si on compte ceux qui se chevauchent ; 5 correspond au nombre qu’il existe de polyèdres réguliers, c’est à dire de solides dont toutes les faces et les sommets sont parfaitement identiques (ceux qu’on utilise généralement pour faire des dés : le tétraèdre à quatre faces, le cube à six faces, l’octaèdre à huit faces, le dodécaèdre à douze faces et l’icosaèdre à vingt faces)
6 (11) : Hautement composé supérieur ; Factorielle ; Primorielle ; Triangulaire ; Pentagonal centré ; Joli en base 5 (ses multiples et puissances tendent à former des palindromes, comme le 11 en base 10)
7 (12) : Premier ; Jumeau de 5 ; Reimerp en base 5 ; Candide ; L’heptagone est le premier polygone régulier à ne pas pouvoir être tracé rigoureusement avec une règle non-graduée et un compas, ce qui donne au 7 un caractère rebelle qui plaît à Penrose
8 (13) : Déficient ; Nombre de Fibonacci ; Cubique ; Base moins 2
9 (14) : Semi-premier ; Carré ; Octogonal centré ; Carrément carré en base 5 (1 | 4) ; Cœur d’un quadruplet premier
10 (20) : Semi-premier ; Multiple de 10 ; Triangulaire ; Ennéagonal centré ; Ingrat
11 (21) : Premier ; Cinquième nombre premier ; Reimerp en base 5 ; Délivré ; Joli en base 10 (ses multiples et puissances tendent à former des palindromes), mais hélas, surtout en base 10
12 (22) : Abondant ; Pentagonal ; Sublime (à la fois le nombre de ses diviseurs et la somme de ses diviseurs sont des nombres parfaits, une propriété presque unique)
13 (23) : Premier ; Nombre de Fibonacci ; Reimerp en base 5 ; Carré centré ; Indomptable ; Narcissique en base 5 (2² + 3² = 23) ; Ingrat ; Les gens en ont peur, donc Penrose l’aime bien par anti-conformisme
14 (24) : Semi-premier
15 (30) : Semi-premier ; Multiple de 5 ; Triangulaire ; Somme de 3, 5 et 7, les trois jumeaux préférés de Penrose ; Cœur d’un quadruplet premier (et tous les cœurs de quadruplets premiers sont des multiples de 15, à l’exception de 9)
16 (31) : Déficient ; Carré ; Hypercubique 4 ; Pentagonal centré
17 (32) : Premier ; Reimerp en base 5
18 (33) : Abondant ; Narcissique en base 5 (3² + 3² = 33)
19 (34) : Premier ; Reimerp en base 5 ; Candide
20 (40) : Abondant ; Multiple de 10
21 (41) : Semi-premier ; Nombre de Fibonacci ; Triangulaire
22 (42) : Semi-premier ; Pentagonal
23 (43) : Premier ; Reimerp en base 5 ; Indomptable ; Candide
24 (44) : Hautement composé ; Factorielle ; Les carrés de tous les nombres premiers (à l’exception de 2 et 3) sont égaux à un multiple de 24 plus 1
25 (100) : Semi-premier ; Multiple de 5 ; Carré ; Carré centré ; Octogonal centré ; Automorphe en base 10 ; Délivré ; Joli en base 5 (c’est la première centaine) ; Nombre de triangles d’or et d’argent que l’on obtient en traçant les diagonales d’un pentagone régulier ; Carré de l’hypoténuse du triangle égyptien (triangle rectangle de côtés de longueur 3, 4 et 5, vérifiant d’après le théorème de Pythagore : 3×3 + 4×4 = 5×5 = 25)
26 (101) : Semi-premier ; Joli en base 5 (101 au carré donne 10201, au cube 1030301, etc., comme le 101 en base 10) ; Total magique du pentagramme magique fondamental (là, je vous balance directement le lien wikipédia, c'est dur à expliquer sans image) et au passage de l’hexagramme magique fondamental (même si c'est moins cool les hexagrammes que les pentagrammes) ; Seul nombre entier à être compris entre un nombre carré (25) et un nombre cubique (27) 
27 (102) : Déficient ; Cubique ; Délivré
28 (103) : Parfait ; Triangulaire ; Ennéagonal centré ; Narcissique en base 5 (1³ + 0³ + 3³ = 103) ; Ingrat ; À la fois somme des cinq premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11) et des cinq premiers nombres non-premiers (1, 4, 6, 8, 9)
29 (104) : Premier ; Reimerp en base 5
30 (110) : Abondant ; Multiple de 10 ; Primorielle
31 (111) : Premier ; Pentagonal centré ; Ingrat ; Joli en base 5 (ses multiples et puissances tendent à former des palindromes, comme le 111 en base 10) (d’ailleurs, en base 2, il est égal à 11111, qui est joli aussi)
32 (112) : Déficient ; Hypercubique 5 ; Ingrat
33 (113) : Semi-premier ; Délivré
34 (114) : Semi-premier ; Nombre de Fibonacci
35 (120) : Semi-premier ; Multiple de 5 ; Pentagonal ; Délivré
36 (121) : Hautement composé ; Carré ; Triangulaire ; Le triangle d’or a un angle à 36° au sommet
37 (122) : Premier ; Reimerp en base 5 ; La somme des chiffres qui le composent est égale à 10 en base 10 et à 5 en base 5
38 (123) : Semi-premier
39 (124) : Semi-premier
40 (130) : Abondant ; Multiple de 10 ; Ambassadeur de Penrose
41 (131) : Premier ; Carré centré ; Ambassadeur de Penrose ; Indomptable ; Délivré
42 (132) : Abondant ; Ambassadeur de Penrose
43 (133) : Premier ; Ambassadeur de Penrose ; Délivré
44 (134) : Déficient ; Ambassadeur de Penrose ; Ingrat
45 (140) : Déficient ; Multiple de 5 ; Triangulaire (d’ordre 9 qui plus est, donc égal à 1+2+3+4+5+6+7+8+9)
46 (141) : Semi-premier
47 (142) : Premier ; Reimerp en base 5
48 (143) : Hautement composé
49 (144) : Semi-premier ; Carré ; Octogonal centré ; Candide ; Carrément carré en base 10 (4 | 9)
50 (200) : Déficient ; Multiple de 10
51 (201) : Semi-premier ; Pentagonal ; Pentagonal centré ; Délivré
52 (202) : Déficient ; Intouchable
53 (203) : Premier
54 (204) : Abondant
55 (210) : Semi-premier ; Multiple de 5 ; Nombre de Fibonacci ; Triangulaire ; Ennéagonal centré ; Délivré ; Joli en base 10 (je vous ai déjà dit que Penrose aimait les 5 ?)
56 (211) : Abondant
57 (212) : Semi-premier ; Nombre premier de Grothendieck (d’après la légende, le génial mathématicien Grothendieck aurait utilisé ce nombre comme exemple de nombre premier au cours d’une conférence alors qu’il n’en est pas un, ce qui est resté une blague chez les matheux plus de cinquante ans après car ces gens ne manquent pas d’humour)
58 (213) : Semi-premier
59 (214) : Premier ; Reimerp en base 5
60 (220) : Hautement composé supérieur ; Multiple de 10
61 (221) : Premier ; Reimerp en base 5 ; Carré centré
62 (222) : Semi-premier
63 (223) : Déficient
64 (224) : Déficient ; Carré ; Cubique ; Hypercubique 6
65 (230) : Semi-premier ; Multiple de 5
66 (231) : Abondant ; Triangulaire
67 (232) : Premier
68 (233) : Déficient ; Ingrat
69 (234) : Semi-premier
70 (240) : Abondant ; Multiple de 10 ; Pentagonal ; Ingrat ; Étrange (nombre abondant en diviseurs qui ne peut pas s’écrire comme une somme de certains de ses diviseurs)
71 (241) : Premier ; Reimerp en base 5 ; Indomptable
72 (242) : Abondant ; Le triangle d’or a deux angles à 72° à ses bases, et les angles au centre d’un pentagone régulier (ceux qu’on obtient en reliant le centre à chaque sommet) font 72° également
73 (243) : Premier ; Reimerp en base 5
74 (244) : Semi-premier
75 (300) : Déficient ; Multiple de 5
76 (301) : Déficient ; Pentagonal centré ; Automorphe en base 10
77 (302) : Semi-premier
78 (303) : Abondant ; Triangulaire
79 (304) : Premier ; Reimerp en base 5 ; Candide
80 (310) : Abondant ; Multiple de 10
81 (311) : Déficient ; Carré ; Hypercubique 4 ; Octogonal centré ; Délivré ; Carrément carré en base 5 (31 | 1)
82 (312) : Semi-premier ; Ingrat
83 (313) : Premier ; Indomptable ; Délivré
84 (314) : Abondant
85 (320) : Semi-premier ; Multiple de 5 ; Carré centré
86 (321) : Semi-premier ; Ingrat
87 (322) : Semi-premier
88 (323) : Abondant ; Intouchable ; Palindrome à la fois en base 10 et en base 5
89 (324) : Premier ; Nombre de Fibonacci ; Reimerp en base 5 ; Composé des nombres 8 et 9 en base 10 et des nombres 2, 3 et 4 en base 5, ce qui forme de jolies suites de nombres (8-9-10 et 2-3-4-5) ;
90 (330) : Abondant ; Multiple de 10
91 (331) : Semi-premier ; Triangulaire ; Ennéagonal centré
92 (332) : Déficient ; Pentagonal ; Candide
93 (333) : Semi-premier ; Délivré
94 (334) : Semi-premier ; Ingrat
95 (340) : Semi-premier ; Multiple de 5 ; Délivré
96 (341) : Abondant ; Intouchable
97 (342) : Premier ; Reimerp en base 5 ; Ingrat
98 (343) : Déficient
99 (344) : Déficient ; Délivré
100 (400) : Abondant ; Multiple de 10 ; Carré ; Ingrat

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Lexique

■ Abondant : voir Composition

■ Ambassadeur de Penrose : La somme des chiffres qui composent ce nombre est la même en base 5 qu’en base 10. Cela ne concerne pas les nombres 1 à 4, dont l’écriture ne change simplement pas entre la base 5 et la base 10.

■ Automorphe : Toute puissance du nombre se termine par le nombre en question (par exemple, 25×25 = 625). Une propriété plutôt belle, mais qui n’existe hélas pas en base 5, excepté pour le 1. Penrose doit se contenter d’apprécier les quelques nombres qui la possèdent en base 10.

■ Base moins 2 : Dans toute base d’écriture, le nombre égal à la base moins 2 (donc 8 pour la base 10 et 3 pour la base 5) permet de créer une jolie curiosité mathématique :

En base 10 :
8×1 + 1 = 9
8×12 + 2 = 98
8×123 + 3 = 987
8×1234 + 4 = 9876
…
8×123456789 + 9 = 987654321

En base 5 :
3×1 + 1 = 4
3×12 + 2 = 43
3×123 + 3 = 432
3×1234 + 4 = 4321

■ Base numérale : Quand on écrit des nombres, on utilise une base numérale : la base 10 (décimale) quand on est quelqu’un de civilisé, la base 2 (binaire) quand on est un informaticien, la base 16 (hexadécimale) quand on joue avec des codes couleur sur internet, etc. La définition d’une base, c’est simplement le nombre de chiffres que vous allez utiliser dans votre écriture. En base 10, on en utilise dix (de 0 à 9) ; en base 2, on en utilise deux (0 et 1) ; en base 16, on en utilise seize (de 0 à F, où A, B, C, D, E et F représentent les nombres de 10 à 15), etc.

Pour écrire les nombres dans une certaine base, vous commencez normalement (0, 1, 2, 3, …), puis dès que vous n’avez plus de chiffre disponible, vous passez à la dizaine suivante. En base 10, par exemple, dès qu’on a atteint 9, on n’a plus d’autre chiffre, donc le nombre suivant, on repasse l’unité à 0 et on augmente la dizaine de 1 (ce qui donne 10). Mais de la même façon, en base 2, dès qu’on a atteint 1, pour écrire le nombre suivant, on fait passer l’unité à 0 et on augmente la dizaine de 1, ce qui fait que 2 s’écrit 10 en binaire. Et puis après, pareil avec les centaines, les milliers, etc. Donc les nombres en binaire, par exemple, s’écrivent : 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, … (ce sont les nombres de 0 à 8).

Penrose, elle, écrit en base 5, donc elle utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4. Dès qu’elle a passé 4, pour écrire le 5, de la même façon, elle écrit 10, puis 11 pour 6, 12 pour 7, 20 pour 10, 100 pour 25, etc.

■ Candide : voir Heureux
■ Carré : voir Puissance et Polygonal
■ Carré centré : voir Polygonal centré

■ Carrément carré en base X : Le nombre est carré, et son écriture en base X peut être découpée en deux autres nombres carrés. Par exemple, 81 est carrément carré en base 5, car son écriture en base 5 (311) peut être découpée entre 31 et 1, qui sont tous les deux des nombres carrés en base 5 (correspondant à 16 et 1 en base 10).

■ Composition : La composition d’un nombre désigne l’ensemble de ses diviseurs, à savoir les nombres entiers par lesquels il peut être divisé de sorte à retourner un résultat entier (donc sans virgule). Par exemple, 3 est un diviseur de 6, parce que 6/3 = 2, mais 4 ne l’est pas, parce que 6/4 = 1,5. On parle aussi de diviseurs stricts pour désigner tous les diviseurs d’un nombre à l’exception de lui-même (puisque tout nombre est un diviseur de lui-même). Penrose a une affection toute particulière pour les nombres premiers, qui sont ceux possédant un seul diviseur strict (à savoir 1), et d’une manière générale, elle préfère ceux ayant le moins de diviseurs possible.

On peut noter plusieurs niveaux de composition, en fonction du nombre de diviseurs que possède un nombre par rapport à sa propre grandeur (un grand nombre ayant en moyenne plus de diviseurs, on doit prendre ça en compte pour déterminer à quel point il est riche ou pauvre en diviseurs). Par niveau de hiérarchie dans le goût de Penrose, on peut noter plusieurs familles :
- Unitaire : Aucun diviseur strict (le seul nombre unitaire est donc 1).
- Premier : Un seul diviseur strict (qui sera toujours 1).
- Semi-premier : Deux ou trois diviseurs stricts (il s’agit toujours d’un produit de deux nombres premiers).
- Déficient : Le nombre est supérieur à la somme de ses diviseurs stricts. Cela implique qu’il en a relativement peu par rapport à sa taille.
- Parfait : Le nombre est égal à la somme de ses diviseurs stricts. Cela implique qu’il a un nombre plutôt moyen de diviseurs, mais c’est une propriété assez rare pour que Penrose y accorde une certaine affection.
- Abondant : Le nombre est inférieur à la somme de ses diviseurs stricts. Cela implique qu’il en a beaucoup par rapport à sa taille.
- Hautement composé : Le nombre possède plus de diviseurs que tous ceux qui le précèdent.
- Hautement composé supérieur : La définition est plus technique - il s’agit des nombres tels que le rapport entre une certaine puissance d’eux et leur nombre de diviseurs est inférieur à celui de tous les autres -, mais retenez surtout que ces nombres-là ont énormément de diviseurs par rapport à leur taille. À l’exception du nombre 2, qui est techniquement hautement composé supérieur tout en étant premier, ces nombres constituent le cauchemar absolu de Penrose.

Certains nombres rentrent dans plusieurs familles, mais j’ai choisi de n’en donner qu’une seule à chacun (à chaque fois celle qui donne le meilleur aperçu de la composition de sa richesse en diviseurs selon moi). Comme mentionné juste au-dessus, 2 est hautement composé, mais on peut difficilement dire de lui qu’il possède un grand nombre de diviseurs étant donné qu’il est premier. De même, tous les nombres premiers et semi-premiers sont déficients, donc je m’abstiens de le répéter.

■ Cubique : voir Puissance
■ Déficient : voir Composition
■ Délivré : voir Heureux
■ Ennéagonal centré : voir Polygonal centré

■ Factorielle : Le nombre peut être construit par un produit de tous les nombres entiers  de 1 à N (1×2×3×4×…×N). Si la propriété est plutôt jolie, elle a l’inconvénient de presque systématiquement impliquer que le nombre en question sera hautement composé, ce qui donne à Penrose une relation mitigée avec celle-ci. Une variante de la factorielle est la primorielle, qui n’utilise que des nombres premiers dans le produit (2×3×5×7×…×N). Penrose préfère légèrement cette version, quoique les nombres qui en résultent aient également un certain nombre de diviseurs par nature.

■ Hautement composé : voir Composition
■ Hautement composé supérieur : voir Composition

■ Heureux : Un nombre est dit heureux si sa suite de Porges aboutit à 1. La suite de Porges, c’est une suite de nombres que l’on constitue à partir d’un nombre de la manière suivante : à partir du nombre choisi, on fait la somme des carrés des chiffres qui le composent pour obtenir le terme suivant, et puis on fait la même chose avec ce dernier pour obtenir celui d’encore après, et ainsi de suite jusqu’à arriver à une boucle.

Par exemple, si l’on part de 4, on obtient ensuite 4², donc 16, puis 1² + 6², donc 37, puis 3² + 7², donc 58, et ainsi de suite. On peut s’assurer que 4 est malheureux puisque sa suite de Porges fait : 4, 16, 37, 58, 89, 153, 35, 34, 25, 27, 51, 26, 40, 16, 37, 58, et ainsi de suite (une fois qu’on a atteint 16, on recommence une boucle), et l’on n’atteindra donc jamais 1. À l’inverse, 19 est heureux, puisque sa suite fait : 19, 82, 68, 100, 1, 1, 1…

Penrose a bien naturellement décidé de créer sa propre suite sur le même concept, mais en base 5, et ne manque pas d’affirmer qu’elle est meilleure puisqu’on trouve plus de nombres heureux dans celle-ci que dans celle de Porges (du moins dans les nombres compris de 1 à 100, il y en a deux de plus). Elle ne parle pas seulement de nombres heureux et malheureux, mais aussi de nombres candides (heureux à la fois dans la suite de Porges et la suite de Penrose), de nombres délivrés (malheureux dans la suite de Porges, mais heureux dans la suite de Penrose) et de nombres ingrats (heureux dans la suite de Porges, mais malheureux dans la suite de Penrose). L’ingratitude du nombre 13 est celle qui la fait souffrir le plus profondément, tant son amour pour ce nombre est grand.

■ Hypercubique : voir Puissance

■ Indomptable : Le nombre est un nombre premier dont l’écriture en base 5 est aussi un nombre premier quand on le lit en base 10. Une propriété très chère à Penrose, dans laquelle elle voit des nombres qui ne travestissent pas leur beauté pour se plier au regard des autres. Cela ne concerne pas les nombres 2 et 3, dont l’écriture ne change simplement pas entre la base 5 et la base 10.

■ Ingrat : voir Heureux

■ Intouchable : Le nombre ne peut pas être écrit comme la somme des diviseurs stricts d’un autre nombre (voir Composition). C’est une propriété assez rare que Penrose apprécie beaucoup, elle lui donne le sentiment que le nombre arrive à échapper à l’emprise de ces maudits diviseurs qui lui en enlaidissent tant d’autres.

■ Jumeau : Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence est égale à 2 (donc s’ils sont séparés par un seul nombre). Penrose s’intéresse tout particulièrement au 5, qui est le seul nombre premier à posséder deux jumeaux, et à 3 et 7, qui sont les jumeaux en question. Elle aime voir ces trois-là comme la fratrie de nombres la plus parfaite qui soient.

Quand deux paires de nombres premiers jumeaux s’enchaînent immédiatement (avec aussi peu d’espace entre elles que possible, c’est-à-dire trois nombres entre les deux), elles forment un quadruplet de nombres premiers. Dans ce cas-là, Penrose tend à considérer que le quadruplet « adopte » le nombre qui se trouve au milieu de celui-ci, et lui porte la même affection qu’aux autres malgré le fait qu’il ne soit pas premier. Par exemple, 5-7 et 11-13 forment un quadruplet, avec 9 en son cœur, ce qui fait de 9 un « premier adoptif » aux yeux de Penrose.

■ Multiple de 5 / Multiple de 10 : Du fait de son affection pour le nombre 5, Penrose tend également à apprécier ses multiples (les nombres qu’on peut obtenir en multipliant 5 par un autre nombre). Cependant, les multiples de 10, bien qu’ils soient également multiples de 5 par nature (ils correspondent à tous les multiples pairs de 5), ne trouvent pas grâce à ses yeux, et elle tend à les voir comme des formes bâtardes. D’une part, elle n’aime pas beaucoup les nombres pairs (puisqu’ils ne sont jamais premiers, à l’exception de 2), et d’autre part, ces nombres sont souvent très abondants en diviseurs, par opposition aux multiples de 5 impairs qui le sont très peu. Ajoutez à cela qu’elle compte en base 5 plutôt qu’en base 10, donc elle tend à voir le 10 comme une aberration académique de laquelle elle cherche à s’extirper pour trouver sa propre beauté.

■ Narcissique : Le nombre est égal à la somme des chiffres qui le composent portés à une même puissance. Par exemple, 18 est narcissique en base 5 (où il s’écrit 33), car 3² + 3² = 18 (ou 33 en base 5, du coup).

■ Nombre de Fibonacci : Le nombre appartient à la suite de Fibonacci, une suite de nombres telle que chaque nombre est égal à la somme des deux qui le précèdent (les deux premiers étant 0 et 1). Cette suite revêt une importance toute particulière dans l’esthétique de Penrose car ses propriétés sont très liées au nombre d’or. Par exemple, à mesure qu’on progresse dans la suite, la division de chaque nombre par celui qui le précède tend progressivement vers le nombre d’or.

■ Octogonal centré : voir Polygonal centré
■ Parfait : voir Composition
■ Pentagonal : voir Polygonal
■ Pentagonal centré : voir Polygonal centré

■ Polygonal : Grossièrement, un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté sous la forme d’un polygone régulier (triangle, carré, pentagone, etc.) en agençant un nombre de points égal à ce nombre (voir illustration). La définition est un peu gratuite présentée comme ça, et à vrai dire, tous les nombres polygonaux n’intéressent pas spécialement Penrose (et la majorité ne sont d’ailleurs pas mentionnés dans la liste). Les seuls qu’elle apprécie vraiment sont :
- Les nombres triangulaires : Ils ont la propriété élégante de pouvoir s’écrire comme une somme de tous les nombres entiers de 1 à N (donc 1+2+3+...+N).
- Les nombres carrés : Ils correspondent simplement à tous les entiers carrés (voir Puissance).
- Les nombres pentagonaux : Penrose aime particulièrement les pentagones.
Notez que l’appréciation de Penrose pour les nombres polygonaux vient aussi du théorème des nombres polygonaux de Fermat, un théorème très joli qui dit que tout nombre entier peut s’écrire comme une somme de trois nombres triangulaires ou moins, de quatre nombres carrés ou moins, de cinq nombres pentagonaux ou moins, et ainsi de suite.

■ Polygonal centré : Les nombres polygonaux centrés sont une variante des nombres polygonaux sur le principe, en ce sens qu’ils peuvent eux aussi être représentés par des polygones réguliers (en suivant un agencement différent, voir illustration). Ils peuvent tous s’écrire comme la somme des premiers multiples d’un nombre à laquelle on ajoute 1 (par exemple, 4+8+12+16+...+1 pour les carrés centrés). Eux non plus n’intéressent pas spécialement Penrose en dehors de quelques cas particuliers :
- Les nombres carrés centrés : Ceux-là n’ont rien de très spécial, sinon qu’ils sont tous des nombres que Penrose apprécie beaucoup pour d’autres raisons (notamment le 5), donc Penrose voue une affection naturelle à cette famille-là.
- Les nombres pentagonaux centrés : Penrose aime particulièrement les pentagones.
- Les nombres octogonaux centrés : Ils ont la particularité d’être tous des carrés de nombres impairs.
- Les nombres ennéagonaux centrés : Ils ont la particularité d’être tous des nombres triangulaires.
Pour les deux derniers, on peut se dire que ce sont simplement des cas particuliers de nombres carrés ou triangulaires, mais Penrose trouve beaucoup de charme dans le fait de voir ainsi liés des nombres polygonaux et polygonaux centrés, deux familles construites sur des règles radicalement différentes. Par exemple, le fait que tous les ennéagonaux centrés soient triangulaires vient du fait qu’ils sont composés par la formule : 1+9+18+27+… (somme des premiers multiples de 9 à laquelle on ajoute 1), où 9 peut s’écrire comme 2+3+4, 18 comme 5+6+7, 27 comme 8+9+10, etc., si bien que la formule finale s’avère être 1+2+3+4+5+…, qui s’avère fortuitement être la formule des nombres triangulaires. Et Penrose ne peut s’empêcher de trouver cela très joli.

■ Premier : voir Composition
■ Primorielle : voir Factorielle

■ Puissance : Le nombre est le résultat d’une puissance, un nombre multiplié par lui-même un certain nombre de fois ; par exemple, 2 puissance 3 (noté 2³) égale 2×2×2. Un nombre carré est le résultat d’un nombre à la puissance 2, un nombre cubique à la puissance 3, un nombre hypercubique X à la puissance X. Notez que le nombre 1 est à la fois carré, cubique et hypercubique de tout ordre, puisque 1 porté à n’importe quelle puissance donnera toujours 1.

Penrose reconnaît un certain charme aux puissances, bien qu’il s’agisse par nature de nombres non-premiers. Toutefois, cela ne lui suffit pas nécessairement à se réconcilier avec les nombreuses puissances de 2 qui figurent dans ce tableau.

■ Reimerp : Le nombre est premier, qu’on le lise à l’endroit ou à l’envers. L’une des belles propriétés de la base 5 qu’utilise Penrose est que les reimerps y sont significativement plus nombreux qu’en base 10 ; à vrai dire, la majorité des nombres premiers compris entre 1 et 100 sont reimerps ou palindromes en base 5.

■ Quadruplet premier : voir Jumeau

■ Semi-premier : voir Composition
■ Triangulaire : voir Polygonal
■ Unitaire : voir Composition